اعداد گنگ چگونه به‌دست ما رسیده‌اند؟ - تالار گفتمان آذر فروم





دعوت به همکاری با آذر فروم

 

اعداد گنگ چگونه به‌دست ما رسیده‌اند؟
زمان کنونی: 19-09-1395،07:12 ب.ظ
کاربران در حال بازدید این موضوع: 1 مهمان
نویسنده: Friga
آخرین ارسال: Friga
پاسخ: 1
بازدید: 230

 
 
رتبه موضوع:
  • 0 رای - 0 میانگین
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

موضوع: اعداد گنگ چگونه به‌دست ما رسیده‌اند؟
ارسال: #1
اعداد گنگ چگونه به‌دست ما رسیده‌اند؟
پست‌ها: 11,943
تاریخ عضویت: 20 اردیبهشت 1390
اعتبار: 288
حالت من: Shad
واقعیت این است که ریاضیات مقدماتی (آن چه در دوره های قبل از ورود به موسسات آموزش عالی ارائه می‌گردد)، آن چنان به‌سادگی وارد علم نشده‌اند. هر بخش آن مستلزم هزاران سال کار فکری بشر بوده است و هیچ گاه اتفاقی یا در واقع بدون زحمت به‌دست ما نرسیده است. اطلاع از تاریخ این امکان را در اختیار ما می‌گذارد که حداقل قدر دانش را دانسته و با الفاظ ریاضیات درس خوبی نیست یا ریاضیات را دوست ندارم، به اینگونه ابراز احساس در برابر آن نپردازیم.

در این مقاله خواهیم کوشید اشاره‌ای به کشف کمیت‌های گنگ (غیرگویا) داشته باشیم. خواننده‌ی علاقه‌مند قطعاً این مطالب را کافی نخواهد یافت و لذا برای مطالب بیشتر به کتاب‌های تاریخ ریاضیات یا تاریخ علوم ارجاع داده می‌شود.

اعتقاد داریم آن چه را لازم است باید انجام دهیم تا ریاضیات چهره‌ی زیبای خود را به همگان نشان دهد. اعداد صحیح تجربه‌هایی هستند که از روند شمارش دسته‌های متناهی اشیا ناشی می‌شوند. نیازهای زندگی روزمره ما را ملزم می‌سازند که علاوه بر شمارش اشیا منفرد، کمیات مختلفی از قبیل طول، وزن و زمان را اندازه بگیریم. برای برآوردن این احتیاجات ساده‌ی اندازه‌گیری، کسر‌ها را لازم داریم، زیرا ‌به‌عنوان مثال، به‌ندرت پیش می‌آید که طولی شامل عده‌ی دقیقا صحیحی از واحدهای خطی باشد. بنابراین، اگر عدد گویا را به‌صورت خارج‌قسمت دو عدد صحیح تعریف کنیم، p/q، که در آن q≠0 باشد، این دستگاه اعداد گویا، از آن جا که شامل همه‌ی اعداد صحیح و کسرهاست، برای مقاصد عملی اندازه‌گیری، کفایت خواهد کرد. (علوم براساس قراردادها استوارند. اصولی را پذیرفته، سپس بر اساس آن‌ها نیازهای آینده را نتیجه‌گیری می‌کنیم. این به‌نظر بهترین راه می‌آید.)

اعداد گویا تعمیم هندسی ساده‌ای دارند (که به آن اشاره نمی‌کنیم، در تمام نوشته‌ های مقدماتی می‌توان مطالب کافی در این مورد پیدا کرد). ریاضی‌دانان اولیه تصور می‌کردند تمام نقاط این محور توسط اعدادگویا به‌کار گرفته می‌شوند. این تصور درست نبوده است. اطلاع از این که نقاطی بر خط وجود دارند که متناظر با هیچ عدد گویایی نیستند، قاعدتا می‌بایست تکان‌دهنده بوده باشد. این کشف یکی از بزرگ‌ترین دستاوردهای فیثاغورس بود. فیثاغورسیان، به‌ویژه، نشان دادند که هیچ عدد گویایی نظیر نقطه p بر روی خط به‌طوری که فاصله op در آن مساوی قطر مربعی به طول واحد باشد، وجود ندارد. اکنون لازم بود اعداد جدیدی ابداع شوند که متناظر با چنان نقاطی باشند، و چون این اعداد نمیتوانند گویا باشند اعداد گنگ نام یافتند. کشف آن‌ها یکی از برجسته‌ترین حوادث را در کل تاریخ ریاضیات مشخص می‌کند.

کشف وجود اعداد گنگ، براي فيثاغورسيان حيرت آور و نگران‌کننده بود. قبل از همه، اين کشف ضربه‌ي مهلکي بر فلسفه‌ي فيثاغورسي، که همه‌چيز را به اعداد صحيح وابسته مي‌دانست، تلقي شد. ديگر آن که، اين مطلب مغاير با عقل سليم به نظر مي‌آمد، زيرا به‌طور شهودي حس مي‌شد که هر کميتي با يک عدد گويا قابل بيان است. همتاي هندسي آن نيز همان قدر تکان‌دهنده بود، زيرا چه کسي مي‌توانست در اين ترديد کند که به‌ازاي هر دو قطعه خط مفروض مي‌توان خط سومي، هر چند بسيار بسيار کوچک، پيدا کرد به‌طوري که به تعداد دفعات صحيح در هر يک از دو خط مفروض بگنجد؟

به‌عنوان اين دو قطعه خط، يک ضلع s و يک قطر d از مربعي را اختيار کنيد. حال اگر قطعه خط سومي مانند t وجود داشته باشد که به‌تعداد دفعات صحيح در s و d بگنجد. خواهيم داشت:

s=bt و d=at

که در آن a, b اعداد صحیح مثبت هستند.
اما اگر d=s√2 باشد، که از آن نتيجه مي شود at=bt√2 يعني a=b√2 و يا 2√=a/b ، پس 2√ یک عدد گویا است.

ولی ار آنجا 2√ نمي‌تواند گويا باشد به وضوح تناقض داریم! به این ترتیب، برخلاف برداشت شهودي ما، قطعه خط هايي نامتوافق وجود دارند. يعني قطعه خط‌هايي که داراي مقياس اندازه‌گيري مشترکي نيستند.

تا مدت‌ها 2√ عدد گنک شناخته شده بود (این امکان وجود دارد که 2/( 1 - 5√ ) که نسبت ضلع پنج ضلعی منتظم به قطر آن است، اولین عدد گنگ شناخته شده باشد، اما احتمالش کمتر از مقدم بودن بر گنگ بودن 2√ است که ما 2√ را به عنوان اولین عدد گنگ شناخته شده پذیرفته ایم).

بعدها به‌گفته‌ی افلاطون، تئودوروس کورنه‌یی (حدود 425 قبل از میلاد) نشان داد که 3√ ، 5√، 7√، 8√، 10√، 11√، 12√، 13√، 14√، 15√، 17√ نیز گنگ هستند. سپس در حدود 370 سال قبل از میلاد این رسوایی توسط ائودوکسوس زیرک، شاگرد افلاطون و آرخوتاس، که از فیثاغورسیان بود، با ارائه‌ی تعریف جدیدی از تناسب مرتفع گردید. بررسی ماهرانه ائودوکسوس در مورد کمیت‌های نامتوافق در مقاله‌ی پنجم اصول اقلیدس اساساً با توصیف اعداد گنگ که به‌وسیله ریچارد ددکیند، ریاضی‌دان آلمانی، در سال 1872 داده شد، منطبق است. مطالعه مثلث‌های متشابه در کتاب‌های هندسه‌ی دبیرستانی امروزی هنوز برخی از مشکلات و ظرافت‌هایی را که به‌واسطه‌ی کمیت‌های نامتوافق به‌میان آمده‌اند، نشان می‌دهد

بر گرفته از :مجله تانژانت"
















دورمچم به جای ساعت یکنوار مشکی بستم
تا همه بفهمن من از همه هر چه زمانو متعلق به زمان است بیزارم
من هم روزی قلبی داشتم
که توسط مردمانی ازمیان شما شکست و شکست تا سنگی شد
واکنون روزگاریست که شیطان فریاد میزند..
انسان پیدا کنید سجده خواهم کرد...


=====ஜ۩۞۩ஜ=====

30-01-1392 08:23 ب.ظ
 


[-]
پاسخ سریع
پیام
پاسخ خود را برای این پیام در اینجا بنویسید.


کد تصویری
royalfuns
(غیر حساس به بزرگی و کوچکی حروف)
لطفاً کد نشان داده شده در تصویر را وارد نمایید. این اقدام جهت جلوگیری از ارسال‌های خودکار ضروری می‌باشد.

موضوعات مشابه ...
موضوع: نویسنده پاسخ: بازدید: آخرین ارسال
  دستورالعمل ساخته‌شدن الماس چگونه است؟ Friga 0 173 06-07-1392 04:03 ب.ظ
آخرین ارسال: Friga
  فصل ها چگونه به وجود می آیند ؟ Friga 0 205 07-01-1392 01:15 ب.ظ
آخرین ارسال: Friga
  جی پی اس چگونه کار می کند؟ Friga 0 205 16-12-1391 03:35 ق.ظ
آخرین ارسال: Friga
  ماهي چگونه حركت مي‌كند؟ mahzad 0 235 08-02-1391 07:53 ب.ظ
آخرین ارسال: mahzad

پرش به انجمن:


کاربران در حال بازدید این موضوع: 1 مهمان